Théorie moderne du portefeuille

La théorie moderne du portefeuille est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille,...


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La théorie moderne du portefeuille est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque comparé au risque moyen du marché. Cette théorie fait appel aux concepts de frontière efficiente, cœfficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres. Sa formalisation la plus accomplie est le modèle d'évaluation des actifs financiers ou MEDAF.

Dans ce modèle, le rendement d'un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d'actifs. Donc, le rendement d'un portefeuille est aussi une variable aléatoire et possède une espérance et une variance.

Idée de départ

L'idée de Markowitz dans sa gestion de portefeuille est simplement de panacher ce dernier d'une façon telle qu'on n'y fait pas de choix incohérents, conduisant par exemple à panacher des actions A et des actions B pour obtenir un couple revenu/risque moins bon à coût égal que ce qu'auraient procuré par exemple des actions C.

Sur le plan technique, c'est un problème d'optimisation quadratique assez banal. Son originalité est principalement l'application de ce modèle d'ingénieur au monde de la finance.

Critiques

Le mathématicien de renom Benoît Mandelbrot a travers ses nombreux travaux sur le sujet remet complètement en question la validité de la théorie de Harry Markowitz et de son corolaire le MEDAF, développé par William F. Sharpe. Il considère que ces théories, si belles soient-elles en apparence et si simples dans leur application, comme complètement déconnectées de la réalité des marchés financiers. Elles ont été maintes fois remises en cause lors, surtout, des différents krachs boursiers qu'elles ont été incapables de prévoir. Elles ont conduit à des politiques de gestion des risques pouvant être qualifiées d'irresponsables de la part des institutions financières.

Le problème essentiel provient du fait que ces théories sont fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou "courbe en cloche"), qui sous-estiment particulièrement fortement les événements "improbables" comme les crises ou les krachs tandis qu'ils sont finalement nettement moins rares que cette loi ne le prévoit. Autre problème de taille : les hypothèses sur lesquelles sont fondées ces théories sont particulièrement peu réalistes (la rationalité des investisseurs surtout... ).

Selon Nassim Nicholas Taleb, philosophe du hasard et de l'incertitude et ancien trader, la théorie moderne du portefeuille de Harry Markowitz et ses applications comme le MEDAF de William F. Sharpe ou la formule de Black-Scholes-Merton sont mathématiquement cohérentes, particulièrement facile à utiliser mais reposent sur des hypothèses qui simplifient à outrance la réalité au point de s'en éloigner totalement, légèrement comme "le fou selon Locke", "qui raisonne correctement à partir de suppositions erronées" (le Cygne Noir de Nassim Nicholas Taleb). Taleb considère l'utilisation de la loi normale en finance à travers la théorie du portefeuille comme une "Grande Escroquerie Intellectuelle", qui continue à être enseignée chaque année à des centaines de milliers d'élèves dans les écoles de management et les universités du monde entier ainsi qu'à être utilisée par les praticiens de la finance. Selon Taleb, les prévisions fondées sur cette théorie n'ont aucune validité et peuvent fréquemment se révéler néfastes : les exemples sont légions (crise des subprime, faillite de LTCM, Lehman Brothers, etc. ).

Hypothèses d'information, risque et rendement

Le modèle fait la double hypothèse que

Espérance et variance

On suppose le plus souvent que la prédilection de l'investisseur pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d'utilité quadratique. Qui plus est , les évolutions du marché sont supposées suivre une distribution symétrique de Pareto. Donc, seuls le rendement attendu (l'espérance de gain) et la volatilité (l'écart type) sont les paramètres examinés par l'investisseur. Ce dernier ne tient pas compte des autres caractéristiques de la distribution des gains, comme son asymétrie ou même le niveau de fortune investi.

Selon le modèle :

Mathématiquement :

En général, pour un portefeuille comportant n actifs :

 \operatorname{E}(R_p) = \sum_i w_i \operatorname{E}(R_i) \quad
La variance du portefeuille est la somme des produits des poids wi de chaque couple d'actifs par leur covariance  \sigma_{ij} \, - cette somme inclut les poids au carré et les variances  \sigma_{ii} \, (ou  \sigma_iˆ2 ) pour chaque actif i. La covariance est fréquemment exprimée en termes de corrélation  \rho_{ij} \, des rendements entre deux actifs où  \sigma_{ij}  = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} \,
 \sigma_pˆ2 = \sum_{i=1}ˆn \sum_{j=1}ˆn w_i w_j \sigma_{ij} = \sum_{i=1}ˆn \sum_{j=1}ˆn w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}


  \sigma_p = \sqrt {\sigma_pˆ2}


Cas spécifiques :

Pour un portefeuille composé de deux actifs :

Espérance :  \operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + (1 - w_A) \operatorname{E}(R_B) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B)
Variance :  \sigma_pˆ2  = w_Aˆ2 \sigma_Aˆ2  + w_Bˆ2 \sigma_Bˆ2 + 2w_Aw_B \sigma_{AB}

Quand le portefeuille se compose de trois actifs, la variance devient :

 w_Aˆ2 \sigma_Aˆ2  + w_Bˆ2 \sigma_Bˆ2 + w_Cˆ2 \sigma_Cˆ2 + 2w_Aw_B \sigma_{AB}  + 2w_Aw_C \sigma_{AC} + 2w_B w_C \sigma_{BC}


(Comme on le voit, plus le nombre n d'actifs grandit, plus la puissance de calcul indispensable est importante : le nombre de termes de covariance est égal à n * (n-1) / 2. Pour cette raison, on utilise le plus souvent des logiciels spécialisés. On peut néanmoins développer un modèle en utilisant des matrices ou dans une feuille de calcul d'un tableur. )

Diversification

Un investisseur peut diminuer le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne soient pas ou peu positivement corrélés, par conséquent en diversifiant ses placements. Cela permet d'obtenir la même espérance de rendement en diminuant la volatilité du portefeuille.

Mathématiquement :

D'après les formules développées ci-avant, on comprend que quand le cœfficient de corrélation entre deux actifs est inférieur à 0, la variance est plus petite que la simple somme pondérée des variances individuelles.

La frontière efficiente

Chaque couple envisageable d'actifs peut être représenté dans un graphique risque/rendement. Pour chaque rendement, il existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau de risque, on peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. La totalité de ces portefeuilles est nommé frontière efficiente ou frontière de Markowitz.

Cette frontière est croissante par construction.

La région au-dessus de la frontière ne peut être atteinte en détenant uniquement des actifs risqués. Un tel portefeuille est impossible à construire. Les points sous la frontière sont dits sous-optimaux, et n'intéresseront pas un investisseur rationnel.

L'actif sans risque

L'actif sans risque est un actif théorique qui rapporte le taux d'intérêt sans risque. Il est généralement associé aux emprunts d'État à court terme. Cet actif possède une variance nulle, son rendement est par conséquent connu à l'avance. Il n'est pas corrélé avec les autres actifs. Donc, associé à un autre actif, il modifie linéairement l'espérance de rendement et la variance.

Le portefeuille devient donc :

Espérance :  \operatorname{E}(R_p) = (1 -w_A) \operatorname{E}(R_f) + w_A \operatorname{E}(R_A) = {E}(R_f) + w_A \operatorname[{E}(R_A) - {E}(R_f)]
Soit toujours :  \operatorname{E}(R_p) =  R_f + w_A \operatorname[{E}(R_A) - R_f]

En conséquence, l'espérance de rentabilité est constituée de l'actif sans risque augmenté d'une prime de risque. En pratique, il convient de l'incorporer aux matrices S* et K* pour résoudre le lagrangien et ainsi déterminer le vecteur W*. C'est tout l'objet du développement de J. Tobin inscrit dans le prolongement des travaux de H. Markowitz.

'Porfolio leverage'

Portefeuille de marché

On comprend, selon ce qui précède, que l'investisseur averti, cherchera la plus grande diversification envisageable jusqu'à atteindre cette limite nommée frontière efficiente. Elle se présente sous la forme d'une partie d'hyperbole (resp. de parabole) suivant qu'on soit dans un repère (écart-type, espérance de rendement) (resp. (variance, espérance de rendement) ). Sachant à présent que l'ensemble des investisseurs n'ont pas la même aversion au risque, certains choisiront de limiter leur risque en combinant par exemple une part d'actifs risqués complétée par l'actif sans risque. Pour déterminer ces types de portefeuilles "hybrides", on trace la courbe passant par l'actif sans risque et tangente à la frontière efficiente. Ce dernier point de contact forme le portefeuille du marché. Les combinaisons de portefeuille sur le segment entre l'actif sans risque et le portefeuille du marché, dominent l'ensemble des autres portefeuilles.

Droite de marché des capitaux

Le choix du portefeuille par individu, par investisseur se fait sur la droite (RfM). Cette droite est la droite du marché des capitaux ou CML (capital market line). Théoriquement, chaque point représente un portefeuille. Son intérêt est qu'elle sert à visualiser la totalité des portefeuilles efficients disponibles qui regroupent simultanément des actifs risqués et des actifs sans risque. La proportion de l'un et de l'autre dépend de l'aversion au risque de l'investisseur. Caractéristiques de la droite de marché des capitaux :

Évaluation des actifs

Risque systématique et risque spécifique

Articles détaillés : risque spécifique et risque systématique.

Modèle d'évaluation des actifs financiers (CAPM)

On suppose que les marchés financiers sont parfaits au sens des hypothèses de la concurrence. Il n'y a pas d'impôt, pas de barrières à l'entrée et une absence de coût de transaction. L'information est disponible gratuitement pour l'ensemble des agents. Les agents sont des preneurs de prix et ils ont tous intérêt à combiner deux actifs.

Selon ce modèle, le rendement exigé sur un actif dépend de son risque systématique. Plus exactement, on a :

 E(R_{actif}) = R_F + \beta_{actif}\cdot [E(R_M) - R_F]

Une fois ce rendement obtenu, on obtient la valeur de l'actif en actualisant ses flux avec comme taux le rendement exigé.

Droite de marché des titres (SML)

Voir aussi

Bibliographie

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