Taux zéro-coupon

En finance, un taux zéro-coupon pour une date de départ et une durée donnée est le taux actuariel qu'aurait une obligation ou un swap de mêmes caractéristiques temporelles mais ayant un coupon de 0 %.



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En finance, un taux zéro-coupon (aussi nommé taux spot) pour une date de départ et une durée donnée est le taux actuariel qu'aurait une obligation ou un swap de mêmes caractéristiques temporelles mais ayant un coupon de 0 %.

Courbe des taux actuariels des swaps en euros le 12 juillet 2005 et courbe des taux zéro-coupon qui en découle

Objectif

Seul un ensemble de taux zéro-coupon sert à calculer des cœfficients d'actualisation cohérents. Tout autre mode de raisonnement introduit des biais dans le calcul.

Si, pour les besoins des spécifiques ou des PME, la notion de taux actuariel suffit le plus souvent, celle-ci est particulièrement insuffisante pour les gestionnaires de fonds et les professionnels des marchés financiers. Ceux-ci utilisent, pour actualiser les flux financiers d'un instrument, des taux zéro-coupon différents, correspondant aux dates de chacun des flux, plutôt que d'appliquer un taux actuariel global, sorte de taux moyen ne tenant pas compte de la forme de la courbe des taux.

Courbe calculée/courbe constatée

Il peut exister deux grandes catégories de courbes des taux zéro-coupon :

Néanmoins, comme uniquement à peu près 10 % des obligations assimilables du Trésor et 5 % des Bunds qui peuvent l'être sont effectivement démembrés, les instruments susceptibles de la composer ne sont pas suffisament liquides pour qu'on puisse disposer d'une courbe cohérente. Seules les courbes calculées, et qui dans le cas des emprunts d'État ne sont que des courbes théoriques, ont véritablement un sens.

Détermination

Par définition, on a, pour une période séparant une date d d'une date D plus éloignée :

 CA(d,D) = \frac{1}{(1+Z(d,D))ˆ{(D-d)}}

où :

Si on dispose des cœfficients d'actualisation, on disposera par conséquent d'une courbe zéro-coupon et vice versa.

On utilise obligatoirement un processus itératif. En effet, jusqu'à un an, l'ensemble des taux sont obligatoirement zéro-coupon. A titre d'exemple, un taux actuariel, par conséquent zéro-coupon, à un an plus un taux actuariel à deux ans permettent de trouver le taux zéro-coupon à deux ans, et ainsi de suite.

Ce processus est habituellement nommé en anglais bootstrapping, car jusqu'aux années 1990 les données des marchés de taux d'intérêt comportaient fréquemment des «trous» sur certaines durées, que l'explosion de l'endettement des États a depuis beaucoup comblé, et sur lesquels il fallait interpoler. Cette expression fait référence aux aventures du baron de Münchhausen, lequel est censé s'être sorti d'un marécage où il était embourbé rien qu'en se tirant par les bottes et se propulsant ainsi dans les airs. Les bootstraps sont les anneaux, en cuir ou en tissu, cousus sur le rebord des bottes et dans lesquels on passe les doigts pour s'aider à les enfiler.

Cas spécifique d'une courbe au pair

Il est spécifiquement aisé de déterminer une courbe de taux zéro-coupon à partir d'une courbe de taux actuariels au pair, c'est-à-dire une dont les taux nominaux sont égaux au taux actuariels, comme une courbe de swaps.

Si on note

S_n =  \sum_{i=1}ˆn CA(0,D_i)

et Tn le taux actuariel applicable à l'échéance n,

on a alors :

Tn. Sn + CA (0, Dn) = 1

Cas des emprunts d'État

Le problème principal, dans le calcul de taux zéro-coupon sur des emprunts d'État, vient de ce qu'ils ne sont pas véritablement fongibles, à la différence des swaps, que leur courbe de taux est par conséquent irrégulière et qu'on doit par conséquent procéder à un calcul statistique qui ne peut être entièrement automatisé. Il faut en effet procéder à des choix : quelles irrégularités garder, car elles sont structurelles, quelles autres faut-il corriger, etc?

Forme de la courbe des taux zéro-coupon

Elle ne coïncide avec la courbe des taux actuariels sous-jacente que dans un seul cas, d'ailleurs fort improbable, celui ou la courbe actuarielle serait une droite horizontale.

Dans l'ensemble des autres cas, la courbe zéro-coupon va augmenter les caractéristiques de la courbe actuarielle dont elle est issue :

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