Plan de remboursement

En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des remboursements et la durée de l'emprunt.



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Crédit - Taux d'intérêt - Finance - Mathématiques financières

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En mathématiques financières élémentaires, un plan de remboursement détermine, lors d'un emprunt à mensualités constantes, les relations existant entre le capital emprunté, le taux d'intérêt, le montant des remboursements et la durée de l'emprunt.

Mise en place mathématique

Un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités constantes M conduit à la construction d'une suite arithmético-géométrique. Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n)\, est définie par la relation de récurrence :

R_{n+1} = (1 + t)R_n - M\,.

En effet, comme toute dette, durant un mois, le capital Rn va augmenter de t \times  R_n si t est le taux d'intérêt mensuel. Comme, au bout d'un mois, il intervient un remboursement d'un montant M, le capital restant dû à l'issue du n + 1e mois est par conséquent Rn + 1 = Rn + tRnM.

Une première remarque de bon sens consiste à dire que les mensualités doivent être supérieures à t\times R_n par conséquent surtout à t × C, pour avoir une chance de voir la dette diminuer.

Variables

Les formules

Une étude de la suite arithmético-géométrique sert à donner Rn selon C, M, n et t.

 R_n =(1 + t)ˆn\left(C - \frac{M}{t}\right) + \frac{M}{t}

Comme l'objectif final est de rembourser la somme au bout de N mensualités, la relation existant entre C, M, t et N est donc :

 (1 +t)ˆN= \frac{M/C}{M/C - t}

Nombre d'échéances

On peut en déduire, selon M/C et t, le nombre de mensualités nécessaires :

 N =\frac{ \ln(M/C) - \ln(M/C - t)}{\ln(1 + t)}.
Exemple : si on emprunte 1000 euros à 0, 5% d'intérêts mensuels (approximativement 6% d'intérêts annuels) et qu'on rembourse 10 euros par mois, il faut
 \frac{\ln(0,01) - \ln(0,005)}{\ln(1,005)} = 139 mensualités.
Soit 11 ans et 7 mois.

Montant de l'échéance

On peut aussi déterminer, selon la durée de l'emprunt, le montant des mensualités :

 M = C \frac{t}{1 - (1+t)ˆ{-N}}

On préfère fréquemment parler en nombre d'années A et en taux annuel i. Pour des taux faibles (voir suite géométrique), on peut utiliser l'approximation suivante t = i / 12 et on obtient alors la formule suivante

 M = \frac{C(i/12)}{1 - (1+i)ˆ{-A}}
Exemple une somme de 1000 euros, empruntée sur 10 ans, à un taux annuel de 4, 8% nécessite un remboursement mensuel de
 \frac{1000 \times (0,048/12)}{1 - (1+0,048)ˆ{-10}} = \frac{4}{1 - 1,048ˆ{-10}} = 10,69 euros.

Capital emprunté

Il est envisageable de déterminer le montant du capital emprunté selon la durée de l'emprunt, du taux et du montant des échéances :

 C = M \frac{1 - (1+t)ˆ{-N}}{t}

On peut enfin déterminer la somme réellement remboursée, selon la somme empruntée C, de la durée de l'emprunt N en mois et du taux d'intérêt mensuel t.

 S = N \times M = C \frac{Nt}{1 - (1+t)ˆ{-N}}
Dans l'exemple précédent, la somme réellement remboursée est de 1282 euros

Tableau de remboursement

Lorsque sont décidés la somme empruntée, le taux d'intérêt et la durée du prêt, le montant des mensualités est alors fixé. On présente alors un tableau qui précise, mois par mois, le capital restant dû et la part, dans le remboursement, du remboursement des intérêts et de l'amortissement. Ce tableau sert à connaître à tout instant l'état de son compte et la somme à payer en cas de remboursement anticipé.

Exemple : Somme empruntée 1000 euros, durée du prêt 10 ans, taux d'intérêt 4, 8%, taux mensuel 0, 4%. Tableau de remboursement sur les deux premières années réalisé sur un tableur.

Tableau de remboursement.png

Légende

LxCy = xième Ligne et yième colonne

L (-1) = Ligne précédente

C (-1) = Colonne précédente

Erratum

Dans la formule de la colonne 2 et la ligne 3, L3C6 devrait être L3C7. La formule correcte est par conséquent L (-1) C* (1+L3C7) -L2C7

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 26/10/2010.
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