Paradoxe de Saint-Pétersbourg

En probabilités, le paradoxe de Saint-Pétersbourg concerne une variable aléatoire dont la valeur est, sans doute, petite, mais dont l'espérance est illimitée.



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  • Le paradoxe de Saint - Pétersbourg concerne les jeux de hasard à espérance de gain strictement positive, ou alors illimitée, où on peut réaliser un gain minime... (source : publimath.irem.univ-mrs)

En probabilités, le paradoxe de Saint-Pétersbourg concerne une variable aléatoire dont la valeur est , sans doute, petite, mais dont l'espérance est illimitée. Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une décision qu'aucun acteur raisonnable ne prendrait. La naissance des fonctions d'utilité, se substituant à l'espérance mathématique de gain, a permis de résoudre ce problème. Le problème a été énoncé par Nicolas Bernoulli dans une lettre en 1713. Il a été repris et modifié par Daniel Bernoulli, son cousin, et discuté dans les Transactions de l'Académie de Saint-Petersbourg, d'où son nom.

Le Jeu

Soit le jeu suivant : on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 euros au joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 8 euros au joueur, et ainsi de suite. Donc, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2n euros au joueur. Quelle est la mise d'origine pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ?

Il faut par conséquent calculer le gain moyen du joueur au cours d'une partie : ce doit être la mise d'origine pour que le jeu soit équitable. Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 2 euros. La probabilité pour que cela arrive est ½, ce qui donne une espérance pour ce coup de 1/2× 2=1. Si face intervient pour la première fois au 2e lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 4 euros, ce qui fait une espérance de gain de 1 euro pour ce coup.

D'une façon plus générale, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½n, le gain est de 2n euros, d'où une espérance de 1 euro pour ce coup. Maintenant, l'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de l'ensemble des cas envisageables. On somme une illimitété de termes qui valent tous 1 : la somme est évidemment illimitée. Il faudrait par conséquent miser une illimitété d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est évidemment impossible.

Explication du paradoxe

Pour mettre en évidence l'aspect paradoxal de ce problème, il faut considérer que, quelle que soit la mise d'origine, l'espérance mathématique de gain est positive, et même illimitée, pour le joueur. Pourtant, tout quidam sain d'esprit refusera de jouer à un tel jeu si la mise d'origine est trop élevée. Ce comportement d'apparence irrationnelle se nomme l'aversion au risque. Il a été formalisé par la notion de fonction d'utilité et a donné naissance à la théorie de la décision.

Une considération simpliste

Une élucidation simple mais efficace de ce paradoxe consiste à faire la supposition réaliste que la banque n'est pas illimitément riche, et va par conséquent cesser de payer au-delà d'une certaine somme.
A titre d'exemple, si on suppose qu'elle ne dispose «que» de 4 000 000 euros soit ∼ 222 euros, le jeu va cesser au 22e coup et la mise équitable sera alors de 22 euros.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 26/10/2010.
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