Modèle Black-Scholes

Le terme de Black-Scholes est utilisé pour désigner trois concepts particulièrement proches ...



Catégories :

Mathématiques financières - Finance

Définitions :

  • Modèle utilisé en mathématiques financières afin d'estimer la valeur de titres d'options. Conçu par les économistes Fischer Black et Myron Scholes, ce modèle vise à calculer en principe le prix juste d'une option.... (source : svsp-verband)

Le terme de Black-Scholes est utilisé pour désigner trois concepts particulièrement proches :

Robert C. Merton a été le premier à publier un article développant l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973, se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier ou encore Paul Samuelson. Le concept essentiel de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent.

Robert Merton et Myron Scholes reçurent en 1997 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel (fréquemment nommé de manière erronée prix Nobel de l'économie) pour leurs travaux. Fischer Black, décédé en 1995 et par conséquent inéligible, a été cité comme contributeur.

Hypothèses et modèle

Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre de conditions :

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, , où W_t \, est un processus de Wiener.

Chacune de ces hypothèses est indispensable à la démonstration de la formule.

Quand toutes ces hypothèses sont remplies, on parle alors de modèle de Black-Scholes, ou on dit qu'on est dans le cas Black-Scholes. Les marchés financiers correspondent assez bien à ce modèle, mais pas précisément. Surtout, au contraire de l'hypothèse centrale du modèle, le temps n'y est pas continu. Il y a par conséquent un certain écart entre ce modèle et la réalité, qui peut devenir important lorsque les marchés sont agités avec de habituelles discontinuités de cours.

Formule de Black-Scholes

La formule de Black-Scholes sert à calculer la valeur théorique d'une option européenne à partir des cinq données suivantes :

Si les quatre premières données sont évidentes, la volatilité \mathcal{}\sigma de l'actif est complexe à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente sur la valeur de \mathcal{}\sigma à choisir.

Le prix théorique d'une option d'achat, qui donne le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : ( \mathcal{S}_{T} - K)ˆ{+}=\max(S_{T} - K  ; 0)

Il est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé

C = E(\text{Pay off} \times eˆ{-rT})∼,

soit la formule de Black-Scholes :

C(S_0,K,r,t,\sigma) = S_0 \mathcal{N}(d_1) - K eˆ{-rt}\mathcal{N}(d_2)

De même, le prix théorique d'une option de vente, de pay off ( K - \mathcal{S}_{T} )ˆ{+}=\max(K-S_{T} ; 0) est donné par :

P(S_0,K,r,t,\sigma) = -S_0 \mathcal{N}(-d_1) + K eˆ{-rt}\mathcal{N}(-d_2)

avec


On peut aussi appliquer la formule à l'inverse. Compte tenu de le prix de l'option qui est coté dans les marchés, quelle valeur de  \mathcal{}\sigma doit être choisie pour que la formule Black-Scholes donne précisément ce prix ? On obtient ainsi la volatilité implicite qui a un grand intérêt pratique et théorique.

Critiques

Le mathématicien de renom Benoît Mandelbrot a travers ses nombreux travaux sur le sujet remet complètement en question la validité de la théorie de Harry Markowitz et de ses corolaires le MEDAF, développé par William F. Sharpe et la formule de Black-Scholes. Il considère que ces théories, si belles soient-elles en apparence et si simples dans leur application, comme complètement déconnectées de la réalité des marchés financiers. Elles ont été maintes fois remises en cause lors, surtout, des différents krachs boursiers qu'elles ont été incapables de prévoir. Elles ont conduit à des politiques de gestion des risques pouvant être qualifiées d'irresponsables de la part des institutions financières.

Le problème essentiel provient du fait que ces théories sont fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou "courbe en cloche"), qui sous-estiment particulièrement fortement les événements "improbables" comme les crises ou les krachs tandis qu'ils sont finalement nettement moins rares que cette loi ne le prévoit. Autre problème de taille : les hypothèses sur lesquelles sont fondées ces théories sont particulièrement peu réalistes (la rationalité des investisseurs surtout... ).

Selon Nassim Nicholas Taleb, philosophe du hasard et de l'incertitude et ancien trader, la théorie moderne du portefeuille de Harry Markowitz et ses applications comme le MEDAF de William F. Sharpe ou la formule de Black-Scholes sont mathématiquement cohérentes, particulièrement facile à utiliser mais reposent sur des hypothèses qui simplifient à outrance la réalité au point de s'en éloigner totalement, légèrement comme "le fou selon Locke", "qui raisonne correctement à partir de suppositions erronées" (le Cygne Noir de Nassim Nicholas Taleb). Taleb considère l'utilisation de la loi normale en finance à travers la théorie du portefeuille comme une "Grande Escroquerie Intellectuelle", qui continue à être enseignée chaque année à des centaines de milliers d'élèves dans les écoles de management et les universités du monde entier ainsi qu'à être utilisée par les praticiens de la finance. Selon Taleb, les prévisions fondées sur cette théorie n'ont aucune validité et peuvent fréquemment se révéler néfastes

Solution de l'équation

Les rendements continus

ce que le chercheur doit trouver dans les ouvrages apres une petite recherche

Les rendements proportionnels

Les lettres Grecques

Les lettres grecques utilisées par le modèle Black-Scholes sont les suivantes :

Pour le call et le put

Formules de dérivation

Importance historique et économique

Il fut publié en 1973, et formait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition principale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut particulièrement rapidement une influence énorme, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans l'ensemble des compartiments des marchés financiers. Dès 1977, Oldrich Vasicek s'en inspirait pour fonder la théorie moderne des taux d'intérêt.

Le modèle de Black et Scholes en pratique

La thèse principale du modèle de Black et Scholes était que le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés.

L'utilisation du modèle et de la formule Black-Scholes est particulièrement répandue sur les marchés financiers, à tel point que certaines cotations se donnent en niveau de volatilité plutôt qu'en prix absolu. En effet, les autres paramètres du modèle (durée à l'échéance, prix d'exercice, taux d'intérêt sans risque et prix du sous-jacent) sont aisément observables sur les marchés.

Cependant, le modèle de Black et Scholes ne permet pas de modéliser exactement le monde réel. L'expérience montre qu'en réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité.

En pratique, la surface de volatilité (la volatilité implicite selon le prix d'exercice et de la maturité) n'est pas plate. Fréquemment, pour une maturité donnée, la volatilité implicite comparé au prix d'exercice a une forme de sourire (appelé le smile de volatilité)  : à la monnaie, la volatilité implicite est la plus basse et plus on s'éloigne de la monnaie, plus elle est élevée. On constate d'autre part que le smile n'est fréquemment pas symétrique sur le marché des actions : plus haut du côté put que du côté call. Cela est dû au fait que les acteurs de marché sont plus sensibles au risque de baisse qu'au risque de hausse de l'action.

Pour un prix d'exercice donné, la différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie se nomme le skew.

La surface de volatilité d'un sous-jacent évolue aussi dans le temps. Les acteurs du marché la réévaluent sans cesse, modifiant leur anticipation de la probabilité, pour chaque prix d'exercice et maturité, qu'une option ne finisse dans la monnaie.

Extensions du modèle

La formule ci dessus n'est pas exempte de critiques : elle ne permet pas de supporter des taux et volatilités non constantes ou de pricer les options européennes payant des dividendes.

Ainsi, avant le krach de 1987, on pouvait observer que les options sur les actions du S&P500 avaient une volatilité implicite constante mais depuis ce krach, la volatilité implicite présente un "smile".

Cependant, le modèle peut aisément être modifié pour supporter des taux et volatilités non constantes.

Ainsi de nombreuses publications scientifiques dans des revues de mathématiques financières à comité de lecture critiquent cette formule et proposent de l'étendre, de la corriger, d'expliquer les écarts ou proposent des solutions alternatives.

Il peut aussi être étendu pour les options européennes payant des dividendes. Pour les options sur des indices (tels que le FTSE 100 ou le CAC 40) où chacune des entreprises entrant dans son calcul peut payer un dividende une ou deux fois par an, il est raisonnable de supposer que les dividendes sont payés sans interruption.

Le paiement des dividendes au cours d'une période de temps \left[ t , t+\delta t \right] est alors noté :

 q \, S_t \, dt

pour un q constant. Sous cette formulation le prix arbitrage-libre selon le modèle Black-Scholes peut être montré comme étant :

 C(S,T)= eˆ{-qT}S_0 N(d_1) - eˆ{-rT}KN(d_2) \,
 P(S,T)=eˆ{-rT}KN(-d_2)  - eˆ{-qT}S_0 N(-d_1) \,

où maintenant :

 F = eˆ{(r-q)T}S_0 \,

est le prix modifié en avance qui se produit aux termes d1 and d2. Cette formule est le plus souvent connue comme Black-Scholes-Merton.

Précisément la même formule est employée pour évaluer des options sur des taux de devises étrangères, sauf que désormais q prend le rôle du taux d'intérêt sans-risque étranger et S le taux de change immédiat. C'est le modèle de Garman-Kohlhagen (1983).

C'est aussi envisageable d'étendre le cadre Black-Scholes aux options sur des instruments payant des dividendes discrets. C'est utile lorsque l'option est basée sur des actions simples.

Un modèle typique doit supposer qu'une proportion δ du prix (cours) d'actions est payée comme dividende aux dates déterminées T1, T2... .

Le prix des actions est alors modélisé par :  S_t = S_0(1-\delta)ˆ{n(t)}eˆ{\sigma W_t + \mu t}

n (t) est le nombre de dividendes qui ont été payés au temps t.

Le prix d'une option d'achat sur de telles actions est toujours :

 C(S_0,K,r,T,q,\sigma) = FN(d_1)-Keˆ{-rT}N(d_2) \,
 P(S_0,K,r,T,q,\sigma) = Keˆ{-rT}N(-d_2)-FN(-d_1) \,

où maintenant :

 F = S_0(1-\delta)ˆ{n(T)}eˆ{rT} \,

est le prix en avance des actions payant du dividende.

Il est plus complexe d'évaluer des options américaines. Un choix de modèle est (par exemple) celui de Whaley qui donne une formule analytique explicite ou le modèle de Cox Ross and Rubinstein qui simule les événements sur le prix du sous-jacent (sauts, dividendes... ) avec un arbre binomial où chaque nœud est associé à une probabilité.

Bibliographie

Notes et références

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 26/10/2010.
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