Mathématiques financières

Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers.


Catégories :

Mathématiques financières - Finance

Recherche sur Google Images :


Source image : dechiffrages.blog.lemonde.fr
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • ... Les stages proposés en Mathématiques financières se passent généralement dans les ... Estimation historique des paramètres d'un modèle de diffusion par... Influence du différentiel de taux sur le change dans le marché... (source : catalogue.polytechnique)
  • Mathématiques financières : Calculs actuariels, marchés de taux, Evaluation des ... des titres de créance négociables (TCN), Modèles d'évaluation d'actions.... (source : amazon)

Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent essentiellement des outils issus de l'actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.

L'actualisation et l'utilisation des probabilités remontent à plusieurs siècles. Cependant, il est reconnu que la théorie moderne des marchés financiers remonte au MEDAF ainsi qu'à l'étude du problème d'évaluation des options dans les années 1950-1970.

Nature aléatoire des marchés

L'observation empirique du cours des actifs financiers montre que ceux-ci ne sont pas déterminés de façon certaine par leur histoire. En effet, les nombreuses opérations d'achat ou de vente ne sont pas prévisibles, font fréquemment intervenir des éléments n'appartenant pas à l'historique et modifient le cours de l'actif. Ce dernier est par conséquent fréquemment représenté par un processus chaotique. Benoit Mandelbrot a établi par des considérations statistiques qu'un modèle aléatoire ordinaire, par exemple gaussien, ne pouvait convenir. L'aléa reste cependant fréquemment modélisé par un mouvement brownien[1], quoique des modèles plus élaborés (par exemple, le modèle de Bates) tiennent compte de la non-continuité des cours (présence de sauts dus à des chocs boursiers), ou de la non-symétrie des mouvements à la baisse ainsi qu'à la hausse.

Hypothèse de non arbitrage

L'une des hypothèses principales des modèles usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière donnant la possibilité de , pour un coût d'origine nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est nommée absence d'opportunités d'arbitrage. Elle est justifiée théoriquement par l'unicité des prix caractérisant un marché en concurrence pure et idéale. Quasiment, il existe des arbitrages qui disparaissent particulièrement rapidement du fait de l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.

Hypothèse de complétude des marchés

Une autre hypothèse, bien plus remise en question, est que tout flux à venir peut être répliqué précisément, et quel que soit l'état du monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis. Les modèles ne comprenant pas les hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés sont dits modèles de marchés imparfaits.

Probabilité risque-neutre

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité à équivalence près d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou «probabilité risque-neutre» telle que le processus des prix actualisés des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interpréter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre : aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

Un processus stochastique est une martingale comparé à un ensemble d'information si son espérance en date t conditionnelle à l'information disponible en date s < t est égale à la valeur du processus en date s, c'est-à-dire qu'un processus A (u) est une martingale si l'espérance conditionnelle de A (t) comparé a la filtration F (s) est A (s) (i. e : \mathbb{E}\left[A_t|\mathcal{F}_s\right]=A_s).

Le problème d'évaluation des produits dérivés

L'évaluation (on dit aussi pricing ou, à tort, «valorisation» qui veut dire «augmenter la valeur») des produits dérivés se ramène fréquemment au calcul du prix actuellement d'un actif dont on ne connaît le prix qu'à une date future. Il se ramène par conséquent au calcul d'une espérance conditionelle. Le modèle Black-Scholes est un exemple de solution analytique au problème d'évaluation des options d'achat (call) ou de vente (put) d'un actif sous jacent. Dans le cas d'un call, le problème s'écrit :

C(t) = EˆQ\left(\leftà{-\int_{t}ˆT r(s)ds}\cdot(S_T - K)_+\right| F_{t}\right),

St est le cours de l'actif, K est le prix d'exercice (ou Strike), r (s) est le taux d'intérêt instantané sans risque à la date s, t est la date «d'aujourd'hui», T est la maturité de l'option, c'est-à-dire la date à laquelle la décision d'exercice peut être prise.

La formule de Black et Scholes est un exemple de solution analytique à ce problème, sous des hypothèses restrictives sur la dynamique du sous-jacent. Voir aussi option.

Une obligation convertible peut s'évaluer comme un lot comprenant une option d'achat et une obligation classique.

Taux d'intérêt et dérivés de taux d'intérêt

Les modèles simples supposent que le taux d'intérêt, c'est-à-dire le loyer de l'argent est constant. Cette hypothèse est centrale, car sous l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage, un portefeuille non risqué rapporte ce taux d'intérêt. Or cette approximation n'est bien entendu plus acceptable dès que le cours de l'actif est principalement lié au niveau du taux d'intérêt (par exemple, le cours des obligations à taux variable, des swaptions... ) ne peuvent être expliqués par un modèle à taux d'intérêt fixe.

On modélisera par conséquent le taux d'intérêt par un processus aléatoire, auquel on demandera :

Les travaux de Vasicek ont permis d'exhiber un processus, dérivé du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, cohérent, dont le loyer de l'argent ne dépend que du taux instantané (overnight) mais autorisant des taux négatifs. Des modèles plus élaborés (processus CIR, ... ), faisant partie de la famille dite des modèles affines de taux court, ont permis de remédier à cette lacune, mais ne satisfont pas vraiment les spécialistes du fait de la difficulté d'interprétation financière des paramètres de diffusion et de leur incapacité à épouser précisément la courbe des taux zéro-coupon spot. Heath, Jarrow et Morton ont proposé une famille de modèles cohérents, dont la dynamique ne dépend que d'une fonction aisément interprétable (la volatilité du taux forward), et capables de rendre compte de n'importe quelle courbe de taux donnée. Des modèles dits de marché (BGM ou Libor Forward) connaissent un certain succès dans l'explication du prix des caps et des floors.

Cependant, à la différence du marché des dérivés d'options où le modèle de Black et Scholes, plus ou moins arrangé pour le débarrasser de ses imperfections (volatilité constante, taux d'intérêt constant, ... ) occupe une place prépondérante, aucun modèle de taux ne fait l'unanimité des spécialistes. Les taux d'intérêts sont en effet soumis à des pressions exogènes particulièrement importantes, qui rendent caduques particulièrement rapidement l'ensemble des calibrations envisageables. À l'heure actuelle, les publications et les recherches à ce sujet sont abondantes.

Dérivés de crédit

Les dérivés de crédit sont des produits dérivés dont les flux dépendent d'événements de crédits intervenant sur un sous-jacent. Ces produits servent à prévenir la dégradation de la qualité de signature d'une contrepartie, c'est-à-dire son aptitude à assumer ses obligations de paiement ("CDS"'ou Credit default swap, "CLN" ou "Credit linked Notes"). Ils peuvent servir aussi à perfectionner la qualité de signature d'une partie d'un panier d'actifs ("CDOs" ou "Collateralized debt obligations").

Dérivés climatiques

Article détaillé : Dérivé climatique.

Les dérivés climatiques sont des produits financiers dont les flux dépendent d'un événement complètement indépendant de la structure des marchés financiers, lié à un événement climatique. A titre d'exemple, un produit peut assurer à son détenteur une rente dans le cas où la température relevée en un lieu fixé par contrat dépasse ou reste en dessous d'une température de référence reconnue comme normale. Ces produits — récents — ont pour vocation de permettre à des entreprises touristiques ou agricoles de se prémunir contre des aléas climatiques. Ils s'apparentent par conséquent à des produits d'assurance, négociés directement sur les marchés financiers.

Notes et références

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

Recherche sur Amazone (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : taux - marchés - modèle - actifs - intérêt - dérivés - processus - hypothèse - prix - financiers - probabilités - date - produits - cours - arbitrage - risque - options - mathématiques - financières - calcul - problème - dire - obligation - climatiques - évaluation - conséquent - martingale - jacents - espérance -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_financi%C3%A8res.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 26/10/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu