Lemme d'Itô

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô fait partie des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques.

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Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô fait partie des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Énoncé

Si est la solution de l'EDS

$X(t)=X(0)+\int_0ˆt \sigma(X(s),s)\,dB(s) +\int_0ˆt m(X(s),s)\,ds,$

ou de

$dX(t)=m(X(t),t)\,dt+\sigma(X(t),t)\,dB(t)$

où est un mouvement brownien, et si est une fonction de classe), alors

$df(X(t),t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + m(X(t),t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma(X(t),t)ˆ2\frac{\partialˆ2 f}{\partial xˆ2}\right)dt + \sigma(X(t),t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dB_t.$

Dans le cas d'un mouvement brownien correspond au cœfficient de diffusion et m à la vitesse moyenne de la particule. (voir Équation de Fokker-Planck). En finance est la volatilité et m la dérive du prix du sous jacent. (voir Modèle Black-Scholes par exemple)

Applications

La formule d'Itô est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique, et est utilisée dans de très nombreux domaines : mathématiques appliquées, physique, finance, biologie, Mécanique quantique, traitement du signal, etc..

En calcul stochastique,

Elle sert à faire le lien entre les solutions d'EDS et des opérateurs différentiels du second ordre, et par conséquent entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles.

Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les cœfficients.

Histoire

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itô dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Dœblin avait de son côté ébauché une théorie identique avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacquis à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Un exemple : le modèle Black-Scholes

Le mouvement brownien geometrique est fréquemment utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

$d X(t)=\sigma X(t)\, dB(t) +\mu X(t)\, dt,$

où est un mouvement brownien.

Si alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

X (t) = X (0) exp (μ t).

En posant on obtient grâce à la formule d'Itô :

$d(\ln X(t)) = \left( X(t) \mu \dfrac{1}{X(t)} + 0 + \dfrac{1}{2} X(t)ˆ2 \sigmaˆ2 \left( - \dfrac{1}{X(t)ˆ2} \right) \right)dt + X(t) \sigma \dfrac{1}{X(t)} dB_t,$ $d(\ln X(t))) = \left(\mu - \dfrac{\sigmaˆ2}{2} \right)dt + \sigma dB_t .$

On peut alors intégrer et il en découle que :

$X(t)=X(0)\exp\left(\sigma B(t) +\mu t-\frac{1}{2}\sigmaˆ2 t\right).$

Voir aussi

Références

C. G. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods (3^ème éd. ), Springer, 2004. ISBN 3-540-20882-8
I. Karatzas et S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Mathematics (2^ème éd. ), Springer, 2004. ISBN 0-387-97655-8.
B. Øksendal. Stochastic Differential Equations : An Introduction With Applications (6^ème éd. ), Springer, 2005. ISBN 3-540-04758-1
(ouvrage de vulgarisation) G. Pagès et C. Bouzitat. En passant par hasard... les probabilités de sous les jours, Vuibert, 1999. ISBN 2-7117-5258-5
D. Revuz et M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, (3^ème éd. ), Springer, 2004. ISBN 3-540-64325-7
L. C. G. Rogers et D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales (2^ème éd. ), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-77593-0
(en) Karlin S, Taylor H M : A first course in stochastic processes. Academic Press, (1975)
(en) Karlin S, Taylor H M : A second course in stochastic processes. Academic Press, (1981)
(en) Schuss Z : Theory and applications of stochastic differntial equations. Wiley Series in Probability and Statistics, (1980)
Tout ouvrage traitant du mouvement brownien et du calcul stochastique.

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