Lemme d'Itô

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô fait partie des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques.


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  • Le lemme d'Ito est établi à partir de la formule de Taylor à 2 variables x... (source : scribd)
  • On peut montrer que le lemme d'Ito est au calcul stochastique ce qu'est ... Un mouvement brownien généralisé a la forme : dX = udt + o"dW tandis qu'un... (source : books.google)

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô fait partie des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Énoncé

Si est la solution de l'EDS

 X(t)=X(0)+\int_0ˆt \sigma(X(s),s)\,dB(s)
+\int_0ˆt m(X(s),s)\,ds,

ou de

 dX(t)=m(X(t),t)\,dt+\sigma(X(t),t)\,dB(t)

où est un mouvement brownien, et si est une fonction de classe), alors

 df(X(t),t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + m(X(t),t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma(X(t),t)ˆ2\frac{\partialˆ2 f}{\partial xˆ2}\right)dt + \sigma(X(t),t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dB_t.

Dans le cas d'un mouvement brownien correspond au cœfficient de diffusion et m à la vitesse moyenne de la particule. (voir Équation de Fokker-Planck). En finance est la volatilité et m la dérive du prix du sous jacent. (voir Modèle Black-Scholes par exemple)

Applications

En calcul stochastique,

Histoire

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itô dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Dœblin avait de son côté ébauché une théorie identique avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacquis à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Un exemple : le modèle Black-Scholes

Le mouvement brownien geometrique est fréquemment utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :


d X(t)=\sigma X(t)\, dB(t) +\mu X(t)\, dt,

où est un mouvement brownien.

Si alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

X (t) = X (0) exp (μt).

En posant on obtient grâce à la formule d'Itô :

d(\ln X(t)) = \left( X(t) \mu \dfrac{1}{X(t)} + 0 + \dfrac{1}{2} X(t)ˆ2 \sigmaˆ2 \left( - \dfrac{1}{X(t)ˆ2} \right) \right)dt + X(t) \sigma \dfrac{1}{X(t)} dB_t,
d(\ln X(t))) = \left(\mu - \dfrac{\sigmaˆ2}{2} \right)dt + \sigma dB_t .

On peut alors intégrer et il en découle que :


X(t)=X(0)\exp\left(\sigma B(t)
+\mu t-\frac{1}{2}\sigmaˆ2 t\right).

Voir aussi

Références

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