Intérêts composés

Un capital est positionné à intérêts composés quand les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêt à leur tour.



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Un capital est positionné à intérêts composés quand les intérêts de chaque période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et porter intérêt à leur tour.

Calcul d'intérêts composés

Pour calculer des intérêts composés chaque année, il suffit d'utiliser une suite géométrique, dont la formule est :

V_f = V_i+\rho)ˆa\,,

Vf est la valeur finale, Vi la valeur d'origine, ρ le taux d'intérêt annuel, et a le nombre d'années. L'habitude est d'exprimer le taux d'intérêt en pourcentage, ainsi on écrira 2 % pour ρ = 0, 02.

A titre d'exemple, en plaçant 10 euros à un taux de 2 % par an pendant 5 ans, on obtient :
10. (1 + 2 / 100) 5 = 11, 04
Après 10 ans, le total sera de 12, 19 € ; après un siècle, de 72, 45 €.

Cette somme Vf est aussi celle qui est due par un emprunteur au bout de a années, au taux d'intérêt ρ (s'il n'a rien remboursé entre temps).

Les intérêts peuvent aussi être composés sur n fractions d'une année, par exemple 12 mois, même si le taux ρ reste exprimé par an. Un intérêt égal à ρ / 12 est alors versé à la fin de chaque mois. La valeur finale au bout de a années est alors donnée par

V_f = V_i + \rho/n)ˆ{na}\,.

On peut aussi composer l'intérêt sur des trimestres ou des jours. Pour comparer les différentes périodes de composition, on calcul le taux effectif sur un an :

1-\frac{V_f}{V_i} = 1 - \left(1 + \rho/n\right)ˆn.

Pour un même taux ρ, plus la période de composition est courte, plus le taux effectif est grand.

Mais il est intéressant de remarquer que le taux effectif converge vers une valeur bien définie quand on découpe l'année en une illimitété de périodes de composition illimitément courtes, c'est-à-dire quand n tend vers l'infini. En effet, on peut démontrer que :


\lim_{n \to +\infty} (1 + \rho/n)ˆn =eˆ\rho
.

Cette formule est utilisée pour calculer ce qu'on nomme des intérêts composés continument.

Valeur finale

 V_f = V_i ( 1+\rho )ˆa\,

Cette formule donne la valeur future Vf d'un investissement Vi avec un accroissement à un taux d'intérêt de ρ pendant a périodes.

Valeur initiale

 V_i = \frac {V_f} {\left( 1+\rho \right)ˆa}\,

Cette formule donne la valeur d'origine Vi (ou valeur présente) indispensable pour obtenir une certaine valeur future Vf si le taux d'intérêt de ρ est capitalisé pendant a périodes.

Taux d'intérêt

 \rho = \left( \frac {V_f} {V_i} \right)ˆ\left(\frac {1}{a} \right)- 1

Cette formule donne le taux d'intérêt composé ρ obtenu si un investissement d'origine Vi donne une valeur finale Vf après a périodes d'accroissement.

Périodes nécessaires

a = \frac {\ln { \frac {V_f} {V_i} }} { \ln {(1+\frac {\rho} {100})} }

Cette formule donne le nombre de périodes a nécessaires pour obtenir une valeur finale Vf à partir d'un investissement d'origine Vi si le taux d'intérêt est de ρ (ln sert à désigner la fonction logarithme népérien).

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