Espérance mathématique

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques.



Catégories :

Probabilités - Mathématiques financières - Finance

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X est par conséquent la somme des produits de chacune des valeurs prises par X par la probabilité de l'événement... (source : mathtecsup)
  • La variance d'une variable aléatoire V (X) est l'espérance mathématique du carré de l'écart à l'espérance mathématique. C'est un paramètre de dispersion qui... (source : mathsv.univ-lyon1)
  • Soit X une variable aléatoire discrète. L'espérance de X, notée E[X], ... Ce résultat confère un statut presque expérimental à la notion mathématique d'espérance..... Espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires... (source : aiaccess)

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E (X) et se lit espérance de X. C'est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire. Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte). Quand l'espérance est égale à 0, le jeu est dit équitable.


Définition

Soit une variable aléatoire de l'espace probabilisé vers (ou un espace mesurable). Son espérance est définie par :

\mathbb E(X) = \int_{\Omega}X\, \mathrm{d}P = \int_{\mathbb{R}}x\, \mathrm{d}P_X (où est la probabilité image).


Si la loi de probabilité de admet une densité, alors :

\mathbb E(X) = \int_{-\infty}ˆ\infty x f(x)\, \operatorname{d}x .

Si est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables, et qu'elle a une fonction de masse, l'espérance prend la forme :

\mathbb E(X) = \sum_{x \in S} x p_X(x)

C'est surtout le cas lorsque le nombre de valeurs envisageables est fini, par exemple avec les probabilités. Dans ce cas l'espérance devient :

\mathbb E(X) = \sum_{x =1}ˆ{n} x_i p_i

Dans ce cas la famille est sommable et la convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes.


Exemple

Exemple de calcul pour la roulette française : en jouant un numéro plein, le joueur a 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois sa mise initiale[note 1]. Son espérance de gain est donc :

\frac{1}{37}\times (mise\times 35) -\frac{36}{37}\times (mise) \simeq -0,027\times mise

Ce résultat indique qu'en moyenne, il perd 2, 7 % de sa mise à chaque partie au profit du casino.

Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire réelle

X étant une variable aléatoire réelle, une fonction f supposée régulière définit une nouvelle variable aléatoire f\circ X notée f (X) dont l'espérance, quand elle existe, s'écrit en remplaçant k par f (k) ou x par f (x) dans les formules précédentes (théorème de transfert).


Variable aléatoire discrète : \mathbb E[f(X)] = \sum_{k=-\infty}ˆ{+\infty} f(k)\ \mathbb P_X(k)

Variable aléatoire continue : \mathbb E[f(X)] = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x)\ p_X(x)\ dx

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes eˆ{i \theta X}\, (où \theta \in \mathbb{R}) dont l'espérance mathématique est [la valeur en θ de] la transformée de Fourier inverse de la densité de probabilité :

\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[eˆ{i \theta X}\right]\,

Il s'agit de la Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série :\phi_X(\theta) = \mathbb E\left[\sum_{k=0}ˆ\infty {(i \theta X)ˆk \over {k !}}\right]

ou, si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière :

\phi_X(\theta) = \sum_{k=0}ˆ\infty {(i \theta)ˆk \over {k !}} \mathbb E\left[Xˆk\right]

Propriétés

Propriétés élémentaires

\mathbb{E}(a X + b Y) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y)\,

Loi de l'espérance itérée

Définition —  \mathbb{E}(X|Y)(y) \equiv \mathbb{E}(X|Y=y) \equiv \sum\limits_x x \cdot \operatorname{P}(X=x|Y=y).

qui veut dire que \mathbb{E}(X|Y)(y) est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie

Propriété —  \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right)=\mathbb{E}(X)


\mathbb{E}(X) = \mathbb{E} \left( \mathbb{E}(X|Y) \right).

Espérance d'une fonctionnelle

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général :

\mathbb{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, \mathrm{d}P \neq g(\mathbb{E}(X)),

Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves).

Estimation

On utilise fréquemment comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur :

Caractère central

On considère souvent l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.
En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique comparé à a, alors E (X) = a.

Mais ce point de vue n'est plus valable quand la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi spécifiquement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E (X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0, 6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0, 33. Les valeurs de X ne se répartissent par conséquent pas équitablement de part et d'autre de l'espérance.

Interprétation et applications

Espérance mathématique et choix rationnel

Occasionnellemen, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Néenmoins l'espérance de ce jeu vous est particulièrement favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36; on obtient donc :

\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient précisément sur ce «en moyenne» : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que assez rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut par conséquent avoir suffisamment d'argent pour participer à la plupart de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre la plupart de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est par conséquent pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son «paradoxe de Saint Petersbourg», le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications spécifiques (économie, assurance, finance, jeux)

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique forme alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins particulièrement grandes à défaut d'illimitées.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, alors que le gain - si gain il y a - sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut par conséquent valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.

Notes et références

Notes

  1. En cas de victoire, il reçoit 36 fois la mise. Le gain vaut par conséquent ce bénéfice moins la mise d'origine, c'est-à-dire qu'il a réellement gagné 35 fois cette mise.

Références

Liens externes

Recherche sur Amazon (livres) :



Principaux mots-clés de cette page : espérance - variable - aléatoire - probabilité - mathématique - valeur - fonction - risque - loi - gains - dire - prime - moyenne - mise - utilité - pertes - nombre - conséquent - note - résultat - espace - densité - partie - choix - euros - notion -

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 26/10/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu