Convexité

La convexité est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe, comme une obligation, qui complète la sensibilité ou la duration

Définition

En utilisant le théorème de Taylor, on peut approcher la variation du prix d'une obligation selon son taux actuariel. $P(r) \simeq P(r_0) + P'(r_0)(r-r_0) + \frac{Pˆ{(2)}(r_0)}{2!}(r - r_0)ˆ2$

Avec :

$r\,\!$ le taux actuariel,
$P(r)\,\!$ le prix de l'instrument selon le taux actuariel,
$P'(r) = \frac {dP(r)}{dr}$ la dérivée du prix de l'instrument comparé au taux actuariel.
$Pˆ{(2)}(r) = \frac {dˆ2P(r)}{dˆ2r}$ la dérivée seconde du prix de l'instrument.

$dP(r) \simeq P'(r)dr+ \frac{Pˆ{(2)}(r)}{2!}drˆ2$

$dP(r)/P(r) \simeq \frac{P'(r)}{P(r)} dr+ \frac{Pˆ{(2)}(r)}{2P(r)}drˆ2$

Soit en utilisant la définition de la sensibilité S.

$dP(r)/P(r) \simeq -Sdr+ \frac{Pˆ{(2)}(r)}{2P(r)}drˆ2$

Et avec la définition suivante de la convexité

On peut écrire :

$dP(r)/P(r) \simeq -Sdr+ \frac{C}{2}drˆ2$

Le terme convexité est utilisé car le signe de cette valeur détermine la convexité locale de la fonction P.

Objectifs et limites

L'objectif de la convexité est de donner un outil numérique simple pour mesurer le risque de taux sur un instrument. Tout comme la duration, et la sensibilité, elle suppose une courbe de taux qui évolue parallèlement pour l'ensemble des maturités.

Formules

En appliquant la définition à la valeur actualisée, on trouve :

$C = \frac {1}{P(1+r)ˆ2} \ \sum_{i=1}ˆn \frac {t_i(t_i+1)F_i}{\left(1 + r \right)ˆ{t_i}}$

avec :

$P\,\!$ le prix de l'obligation,

$F_i\,\!$ le flux (coupon et capital) de la période $i\,\!$ ,

$t_i\,\!$ est l'intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d'actualisation de la date du flux $F_i\,\!$

$r\,\!$ le taux actuariel de l'obligation.

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