Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco - américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 à Cambridge, dans le Massachusetts.


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  • MANDELBROT Benoît, français, 1924-... On doit à Benoît Mandelbrot le qualificatif fractal en 1975, de l'adjectif latin fractus provenant de frangere... (source : serge.mehl.free)
  • ... Dans un ouvrage sans concession, Benoît Mandelbrot, polytechnicien français, dénonce les incohérences de la théorie financière orthodoxe et ... (source : )
  • Le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot est décédé jeudi 14 octobre à Cambridge (Massachusetts, nord-est des Etats-Unis), des suites d'un cancer... (source : lemonde)
Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot, en 2007
Naissance 20 novembre 1924
Varsovie (Pologne)
Décès 14 octobre 2010 (à 85 ans)
Cambridge, Massachusetts (États-Unis)
Nationalité Franco-américain
Champs Mathématiques, théorie de l'information
Institution Université Yale
International Business Machines (IBM)
Diplômé École polytechnique
California Institute of Technology
Célèbre pour Ensemble de Mandelbrot
Fractales
Distinctions Médaille Franklin (1986)
Prix Wolf (1993)
Prix japonais (2003)

Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain, né à Varsovie le 20 novembre 1924 et mort le 14 octobre 2010 à Cambridge, dans le Massachusetts[1]. Il a travaillé, au début de sa carrière, sur des applications originales de la théorie de l'information, puis développé ensuite une nouvelle classe d'objets mathématiques : les objets fractals, ou fractales.

Biographie

Mandelbrot est né à Varsovie, dans une famille juive d'origine lituanienne, d'un père revendeur de vêtements et d'une mère médecin. Son oncle Szolem Mandelbrojt était professeur de mathématiques au Collège de France. Sa famille a quitté la Pologne pour Paris pour fuir la menace hitlérienne. C'est à Paris qu'il fut initié aux mathématiques par deux oncles. L'invasion allemande force la famille à se réfugier ensuite à Brive-la-Gaillarde, où il est aidé, pour la continuation de ses études, par le rabbin David Feuerwerker. Après avoir fréquenté le lycée Edmond-Perrier de Tulle, il poursuit ses études au lycée du Parc, à Lyon.

Années de jeunesse : un départ brillant

Après avoir quitté l'École polytechnique (promotion 1944), où il a suivi les cours d'un spécialiste du calcul des probabilités (Paul Lévy), il s'intéresse aux phénomènes d'information, les idées de Claude Shannon étant alors en plein essor. Intrigué par la loi de Zipf, empirique et contestée, il la pose en termes de minimisation des coûts de stockage et d'utilisation des mots par l'esprit. Par élimination de la variable de coût entre les deux équations, se révèle une loi qui n'a, cette fois-ci, plus rien d'empirique : c'est la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf n'est qu'un cas spécifique, et qui répond mieux qu'elle aux observations (expliquant surtout le coude toujours observé dans les distributions, et non expliqué par la loi de Zipf). Ce travail lui vaut une notoriété immédiate, surtout grâce à un ouvrage de Léon Brillouin : Science et théorie de l'information, qui aura d'ailleurs un succès énormément plus grand dans sa traduction anglaise : Science and information theory (les conventions typographiques catastrophiques de l'ouvrage français n'y sont pas étrangères[réf.  nécessaire]).

La traversée de l'océan

Il quitte alors la France une année, vers la Californie, mais y revient en 1949, jusqu'en 1958, époque où il retourne à nouveau aux États-Unis d'Amérique, attiré, selon lui, par une plus grande liberté de créativité, non restreinte à une seule discipline précise. Il travaille comme chercheur chez IBM sur la transmission optimale dans les milieux bruités, tout en poursuivant son travail sur des objets étranges jusque-là assez négligés par les mathématiciens : les objets à complexité récursivement définie, comme la courbe de Von Koch, auxquels il pressent une unité. Le mathématicien Felix Hausdorff a d'ailleurs préparé le terrain en définissant pour ces objets une dimension non-entière, la dimension de Hausdorff. Quant au mathématicien Gaston Julia, il a défini des objets qui ont un air de famille avec le tout.

Un nouveau paradigme

Il signe en 1973 dans une revue d'économie l'article Formes nouvelles du hasard dans les sciences[2]. Cet article critique le manque d'intérêt des chercheurs de nombreuses disciplines pour les fluctuations aléatoires, se cantonnant trop à étudier les moyennes à long terme. Il cite des exemples pris dans son domaine à IBM, la transmission du signal, mais également dans des domaines inattendus : les crues du Nil, la forme des nuages, celle des fleuves.

Il arrive à la conclusion qu'il n'y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Il s'agit là d'une illusion due au fait que nous n'étudions que ces exemples en nous détournant des autres comme mal conditionnés, comme les mathématiciens se sont détournés du flocon de Koch qu'ils considéraient comme un objet monstrueux : les sphères ou les triangles sont reconnus comme des objets acceptables par les mathématiciens de l'époque, mais pas les nuages ni les arbres (du moins comme objets géométriques). Les mathématiques de cette époque restent muettes sur les monstres. Pas surprenant dans ces conditions que les mathématiques existantes soient reconnues comme ayant un immense pouvoir d'explication des phénomènes scientifiques, car nous ne considérons comme scientifiques que les phénomènes qu'elles permettent d'expliquer ! Nous sommes pris dans le piège d'un argument circulaire dont nous ne pouvons plus sortir.

Or, ajoute Mandelbrot, c'est la majeure partie des phénomènes de la nature qui obéissent à cet autre type de hasard où on ne peut appliquer la loi des grands nombres. Le modèle standard nous fait passer à côté de la plus grande partie de la réalité, et va jusqu'à nous empêcher même de la voir.

Il cite alors comme exemple de cette nouvelle forme de hasard à étudier l'exemple qui deviendra célèbre de la côte de Bretagne, dont la longueur dépend de l'échelle à laquelle on la mesure, et qui possède une dimension de Hausdorff non-entière, comprise entre 1 et 2 : elle ne forme à proprement parler ni un objet à une dimension, ni un objet à deux dimensions, et c'est en acceptant l'idée de dimension non-entière que nous allons pouvoir attaquer ces objets qui ont toujours échappé à notre étude : la théorie fractale est , dès cet article, officieusement lancée.

Les principes en seront publiés avec une très grande quantité d'exemples (hydrologie, structure du poumon, granulation des bétons, paradoxe d'Olbers, turbulences en mécanique des fluides, urbanisme des villes, et même trous de l'Appenzeller) dans un ouvrage qui fait depuis référence : Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension en 1974. Il y présente au lecteur des objets jusqu'alors peu connus : flocon de Koch, éponge de Sierpinski (ou éponge de Menger, ou de Sierpinski-Menger), que les mathématiciens gardaient pudiquement dans leurs tiroirs. Tous ces exemples ont en commun ce que l'auteur appelle une homothétie d'échelle et qu'il désignera quelques années plus tard sous le nom d'autosimilarité (self-similarity).

Le caractère novateur du livre (paru au départ en France) en fait un succès immédiat, mondial, et qui touche cette fois-ci le grand public. Les exemples de la première édition de cet ouvrage étaient tous en noir et blanc pour des raisons d'économie et de technologie des écrans. Par la suite, les fractales se révélant un outil efficace pour la synthèse d'images complexes, on n'en verra plus qu'en couleurs.

Frontière de l'ensemble de Mandelbrot (détail)

Mandelbrot a donné son nom à une famille de fractales (dites de Mandelbrot), définies par la relation de récurrence zn+1 = zn2 + c, c étant un nombre complexe quelconque.

Son travail sur les fractales comme mathématicien à IBM lui a valu un Emeritus Fellowship au laboratoire de recherche T. J. Watson. Ses travaux y ont été repris par son collaborateur, Richard Voss. Il a été lauréat de la médaille Franklin en 1986.

En plus de la découverte des fractales en mathématiques, il a montré le grand nombre d'objets bien décrits par des fractales dans la nature, conduisant ainsi à de nouveaux terrains de recherche. Des fractales se retrouvent aussi dans des phénomènes étudiés en théorie du chaos.

Professeur à l'université Yale (1987), conférencier au Conservatoire national des arts et métiers (1994, 2000).

En 1991, Mandelbrot, toujours invité à tout hasard à chaque congrès portant sur les fractales, se rendit compte qu'il y en avait eu plus d'un par jour en moyenne cette année-là.

Le 23 novembre 1990, il est fait chevalier de la Légion d'honneur, et est promu officier le 1er janvier 2006, une distinction qui lui est remise le 11 septembre 2006 par son camarade de promotion à l'École polytechnique, le sénateur Pierre Laffitte[3].

La finance

Analyse simplifiée d'un marché.

Benoît Mandelbrot est aussi à l'origine en 1961 d'un modèle d'évolution des cours de la bourse basée sur la géométrie fractale. Cette théorie financière a l'avantage de mieux détecter la survenue des variations extrêmes, ce que ne permet pas l'usage de l'analyse technique basée sur la théorie de Dow. Initialement reconnue pertinente, elle a été ensuite mise de côté pour cause de complexité, avant d'être réutilisée depuis la fin des années 1990, riches en turbulences financières.

En 1997, Mandelbrot propose un nouveau modèle plus précis en supprimant les sauts de Lévy par des processus où la discontinuité s'atténue sur le long terme et intègre l'effet de mémoire des fluctuations boursières. Il introduit un temps «multifractal» pour décrire les alternances de périodes calmes et agitées observées sur les marchés financiers : l'amplitude des variations peut rester indépendante d'un jour à l'autre tout en étant corrélée sur de très longues périodes de temps[4]

En 2004, il a publié Une approche fractale des marchés dans lequel il dénonce les outils mathématiques de la finance parce qu'il les juge inadaptés[5]. Cette même année, il avait demandé, sans succès, que les banques et les grandes institutions financières consacrent une petite partie de leur budget à la recherche principale[5].

Benoît Mandelbrot est surtout particulièrement critique sur la théorie de Merton, Black et Scholes[5] utilisée par les banques, parce que, selon lui, elle ne prend pas en compte les changements de prix instantanés et des informations principales[5], faussant ainsi les moyennes.

Le récit

En 1994, dans La Dramaturgie, Yves Lavandier affirme que la théorie fractale s'applique à merveille aux mécanismes du récit. La forme simple protagoniste-objectif-obstacles se retrouve à différentes échelles : la série, l'œuvre unitaire, l'acte logistique, l'acte dramatique, la séquence, la scène, jusqu'à certains dialogues. C'est la spécificité de chaque composant et la combinaison de milliers de formes simples qui donnent à chaque récit son caractère unique et son apparente originalité.

Bibliographie

Notes et références

  1. (en) Benoit Mandelbrot, Mathematician, Dies at 85, New York Times, publié le 16 octobre 2010.
  2. Mandelbrot Benoît, Formes nouvelles du hasard dans les sciences, Économie appliquée, vol.  26, 1973, p.  307-319.
  3. PREX0508911D.
  4. Jouer en Bourse, c'est vraiment risqué : «Le grand bluff des modèles financiers», Aurélien Prévost, Science et Vie, no 1068, septembre 2006, page 112.
  5. Interview de Benoît Mandelbrot par Annie Kahn - «Benoît Mandelbrot : Il était inévitable que des choses particulièrement graves se produisent», Le Monde, 17 octobre 2009.

Voir aussi

Liens externes

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